Barycentres, 1ere partie

Le chapitre des barycentres allie géométrie vectorielle et calculs. Il y a peu de cours, par contre beaucoup de méthodes sont à apprendre.

Qu'est ce que c'est, et à quoi ca sert ?

Le barycentre est un point, un endroit spécial. Si on parlait du barycentre d'un objet, ce serait le "centre" de cet objet, c'est à dire le point d'équilibre de l'objet. En physique, ce point sera utilisé pour étudier l'objet.
Pourquoi parle-t'on de points "pondérés"?
- Imaginez votre double décimètre. Si vous le posez à plat sur une pointe de métal, vous devrez positionner la pointe de métal (G) au centre de la règle pour qu'elle se tienne en équilibre : normal, votre double décimètre est identique à chaque extrémité, chaque point est affecté du même poids, le barycentre est alors l'"isobarycentre" ( iso veut dire égal).
- Imaginez maintenant une louche: elle est bien plus lourde du coté bombé que du coté du manche. Si vous la mettez sur une pointe de métal (G), en positionnant la pointe au milieu de la longeur de la louche, celle ci va pencher du coté le plus lourd. Pour compenser cela et trouver l'équilibre, on va poser sur le manche un poids supplémentaire P. Le centre de la louche sera alors le barycentre du coté bombé affecté du poids "1" , et du manche affecté du poids P.
- Imaginez enfin que non, finalement, on ne met pas de poids sur le manche pour compenser. Alors pour rétablir l'équilibre, il faudra trouver la position de G la plus adaptée, et donc la rapprocher du coté lourd.

La plupart des objets de notre vie sont asymétriques. Pour pouvoir étudier les forces qui s'y exercent, leur mouvement ou tout autre chose en physique, il faut "réduire" cet objet à un seul point. C'est le barycentre qui sera choisi, et on l'appellera en physique, le centre de gravité.

Ce qu'il faut savoir :
- la définition du barycentre,
- la propriété du barycentre,
- les petites propriétés,
- l'association de barycentre. 

Ce qu"il faut savoir faire:
- Construire le barycentre de 2 points, de 3 points,
- Montrer qu'un point est le barycentre de 2 ou 3 points,
- Montrer que 3 points sont alignés,
- Trouver des ensembles de points.

Rappels préliminaire nécessaires :
- La relation de Chasles:
- La règle du parallélogramme, avec I le milieu de AB :
- A retenir pour les résolutions d'exercices :
   

Définition fondamentale : G est le Bar (A,a) (B,b) alors

Construction d'un barycentre :

• Sans les coordonnées :

De la définition, grace à la relation de Chasles, on obtient la formule permettant de construire G connaissant A et B :

 

Certains profs admettent l'utilisation directe de la formule, d'autres veulent que vous la retrouviez à chaque fois. Regardez dans les exos corrigés comment votre prof procède et faites de la même façon.

Pour retrouver ces formules:

Partez de la définition. Gardez GA puisque AG doit apparaitre dans la formule finale, mais faites Chasles sur GB pour le faire disparaître. Pointez sur le seul point qui reste, A. Vous obtenez aGA + b(GA + AB) = 0. Développez, transformez les GA en AG, isolez-le, et c'est fini.

Avec 3 points la formule devient :

• Avec coordonnées :

Formules à adapter avec 3 points.

Montrer qu'un point est le barycentre de 2 points, ou 3 points:

Le but est donc d'utiliser les données du problème pour arriver à une formule du meme type que la définition du barycentre:
Exemple : AC = 3 CB, exprimer A comme le bary de B et C:
On doit donc trouver un formule du genre aAB + bAC = 0.
On ne touche pas  au vecteur AC, on rapatrie CB à gauche du =, et comme CB doit disparaitre, on fait Chasles en pointant sur A:
AC -3 (CA+AB) =0  d'ou AC - 3CA - 3AB =0 d'ou 4AC - 3AB = 0. A est donc le Bary de (B,-3) (C,4).

Dans l'article suivant, nous étudierons les méthodes concernant les barycentres partiels ( ou barycentres associés )  ainsi que les exercices types pour trouver des ensembles de points.