Décomposer une fonction (fonctions composées, 2de et 1°)

Avant d'étudier les variations de fonctions grace aux dérivées, vous devez apprendre les différentes méthodes telles que la composition de fonction ou l'association de fonction. Regardons ici de plus près la composition de fonctions.
Première étape, il faut savoir décomposer une fonction en fonctions usuelles, et trouver son ensemble de définition.

Par exemple , décomposer f(x) = (3x - 5)²

Il s'agit de x, à qui l'on applique une fonction affine, puis on applique la fonction carrée à cette fonction affine. Ce qui donne le schéma suivant:
 
On nomme alors u(x) = 3x-5 et v(x) = x². Alors on dit que f(x) = v(u(x)) = v o u(x).
Mais attention, il faut également s'occuper de l'ensemble de définition de f(x):  Puisqu'on applique u à x, il faut que x € D(u).  Et puisque l'on applique v à u(x), il faut que u(x) € D(v).  Or, D(u) = IR , et D(v) = IR, il n'y a donc aucun problème, D(vou) = IR.

^{Exemple avec un problème dans l'ensemble de définition: 
On décompose f de la façon suivante:}  

avec:

et

^{D'où l'ensemble de définition de f :}
x € D(u) : pas de problème puisque D(u) est IR

Donc

^{Troisième exemple, avec une fonction inverse:  
Schéma de décomposition :}

avec:

et

^{D'où l'ensemble de définition de f :}
x € D(u) : pas de problème puisque D(u) est IR

Donc

A présent, on sait décomposer une fonction et surtout, trouver son ensemble de définition. Le prochain article traitera des méthodes pour étudier les variations de ces fonctions composées.