Géométrie dans les Complexes

Dans le chapitre des complexes, une grande part est faite à la géométrie. L'essentiel des exercices traitant de géométrie consistent à trouver des ensembles de points M d'affixe z tels que ceci ou tels que cela.
Beaucoup de ces exos sont également résolvables par le calcul, il faut simplement faire attention à l'énoncé pour savoir quelle méthode choisir.

• Le cours, l'essentiel à savoir:

Soient 2 points A et B d'affixes z_A et z_B, formule pour calculer la distance AB :

Soient 4 points A,B,C,D d'affixes z_A, z_B, z_C, z_D, formule pour l'angle orienté (AB, CD):

• Exercice type : Soit le complexe Z, déterminé en fonction de z par la formule :
  

Les questions posées en général sont :
1) Interpréter géométriquement le module et un argument de Z
2) Trouver l'ensemble des points M d'affixe z tels que Z € IR, ou IR+, ou IR-
3) Trouver l'ensemble des points M d'affixe z tels que Z € Im purs
4) Trouver l'ensemble des points M d'affixe z tels que |Z| = 1

Comment répondre:

1) LE module car il n'y en a qu'1, et UN argument car il en existe une infinité à 2π près.

Cette question n'est QUE du cours.   On pose z_A = 2 - 3i et z_B = -1 + i, et z_M = z
Le module de Z correspond au quotient des distances AM et BM, et un argument correspond à l'angle orienté (MB, MA)

2) Si Z € IR, alors Z se situe sur l'axe des abcisses. On ne peut rien dire sur son module, par contre son argument vaut 0 ou π.  On cherche donc z tel que arg(Z) = 0 ou π
Soit 
Donc M € (AB) \ {A,B}  ( M € à la droite (AB), privée des points A et B car si M=A ou M=B, il n'y a plus d'angle orienté )

Si Z € IR+, alors Z se situe sur l'axe des abcisses, à droite. On ne peut rien dire sur son module, par contre son argument vaut 0.  On cherche donc z tel que arg(Z) = 0.
Soit 
Donc M € (AB) \ [AB]  ( M € à la droite (AB), privée du segment [AB] pour que l'angle orienté soit nul)

Si Z € IR+, alors Z se situe sur l'axe des abcisses, à gauche. On ne peut rien dire sur son module, par contre son argument vaut  π.  On cherche donc z tel que arg(Z) =  π.
Soit 
Donc M €  [AB]  \ {A,B} ( M €  au segment [AB], privée des points A et B car si M=A ou M=B, il n'y a plus d'angle orienté)

3) Si Z € Im purs, alors Z se situe sur l'axe des ordonnées. On ne peut rien dire sur son module, par contre son argument vaut  π/2 ou -π/2. On cherche donc z tel que arg(Z) = π/2 ou -π/.
^{d'où     (M €  au Cercle de diamètre [AB], privé des points A et B car si M=A ou M=B, il n'y a plus d'angle orienté)}

4) |Z| = 1 : On cherche z tel que |Z| = 1



Les questions 2 et 3 peuvent être résolues par le calcul : on remplace z par x+iy dans Z, puis on écrit Z sous forme algébrique en fonction de x et y.
2) On résoud Im(Z) = 0 et on trouve une équation de droite sous la forme y = ax + b , qui est l'équation de la droite (AB)
3) On résoud Re(Z) = 0 et on trouve une équation de cercle de centre I milieu de [AB] et de rayon AB/2.

A vous !!

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