Nombre dérivé, taux de variation, approximation affine... Pffffff !

Après avoir abordé les dérivées et leur utilité, on va tenter de comprendre les petits à côtés théoriques du programme.

• La tangente :

Lorsqu'on possède l'expression de f, on peut trouver l'équation de la tangente à la courbe en n'importe quel point d'abcisse a.
l'équation est : y = f'(a)(x-a) + f(a)
On calcule  f(a), f'(a), on remplace dans l'expression, et on obtient l'équation d'une droite ( donc une équation affine)

Remarque utile : si on développe l'expression de la tangente :
y = f'(a)(x-a) + f(a)
   = f'(a)x - f'(a)a + f(a)
   =  m  x    +   p   (équation affine)
avec m = f'(a), m étant le coefficient directeur de la droite, on peut donc conclure que f'(a) est le coefficient directeur de la tangente en x=a.

• Le nombre dérivé:

Concrêtement, le nombre dérivé de f en a est f'(a) ( c'est à dire la valeur de la dérivée pour x=a)

• Le taux de variation:

Une fonction n'est pas toujours dérivable. Elle peut ne pas l'être en certaines valeurs de x.
Pour montrer qu'une fonction f est dérivable ou non en une valeur spécifique a, il faut d'abord calculer le taux de variation de f, T(h), en a :
On écrit donc : T(h) = [f(a+h) - f(a)] /h    =..................
Ce sera une expression contenant des h, qu'on simplifie au maximum.

Ensuite il faut calculer la limite de T(h) quand h tend vers 0. Sauf que pour le moment, vous ne savez pas ce qu'est une limite. Alors tout simplement, on va remplacer h par 0.

- Si T(h) a une valeur quand h=0, alors la fonction est dérivable en a.
- Si c'est une expression où l'on ne peut pas remplacer h par 0 ( c'est à dire qu'il y a h au dénominateur), alors la fonction n'est pas dérivable en a.

• L'approximation affine :

L'approximation affine sert à connaître approximativement la valeur d'une fonction "compliquée" par des calculs simples.   On va donc chercher par exemple f(1,98), f(0,01), pour n'importe quelle fonction.

Formule :    f(a+h) = hf'(a) + f(a)

Si je souhaite calculer, sans machine à calculer, f(1,02), connaissant f, bien sur.
On note a = 1, h = 0,02  ( donc a+h = 1,02)
On trouve f'(x), puis on calcule f'(1) et f(1)
On remplace dans la formule :
f(1,02) = 0,02 x f'(1) + f(1) = ..............

Voila, c'est tout en fait... pour le moment ça ne vous sert pas à grand chose, ce sera utile à ceux qui feront des sciences après le bac. Les autres... ben apprenez, sachez appliquer la formule, juste pour réussir votre contrôle, ce sera déjà ça.

Ensuite, vous n'en n'entendrez plus parler ! OUF !!