Dans les exos traitant du pgcd (nommé d) et du ppcm (nommé m), les mêmes méthodes reviennent souvent.
On utilise les propriétés suivantes:
- si d = pgcd(a,b) alors il existe (a',b') € IN tels que a=da', b=db' et pgcd(a',b') = 1 ( a' et b' premiers entre eux)
- pgcd(a,b) x ppcm (a,b) = ab soit donc dm = ab
On a donc a=da', b=db', ab = md
soit donc da'db' = md
d'ou d2a'b' = md
soit da'b' = m, avec a' et b' premiers entre eux.
Lorsque l'exercice demande de résoudre une équation, c'est à dire de trouver les couples (a,b) € IN tels que " équation", voila dans quel ordre vous devez résoudre:
- Posez a=da', b=db',
- Remplacez a et b par da' et db' dans l'équation.
Vous obtenez une nouvelle équation en a', b' , le but à présent est donc de trouver les couples (a', b').
Pour cela, on cherche les d qui sont possibles.
- On fait la liste des d possibles, d'où on trouve une liste des couples (a',b') possibles.
- On fait attention à ce que a' et b' soient toujours premiers entre eux, ce qui enleve en general quelques possibilités.
- Puis on trouve les couples (a,b) correspondants.
On fait attention aux hypothèses ou contraintes données dans le texte (par exemple a<b ou a ne divise pas b), ce qui enlève encore quelques possibiliés.
Puis il y a les contraintes "cachées" :
-Une équation du type : 3a + 4b = 46 implique : 3a < 42 d'où a < 14, ou bien 4b < 43 d'où b < 11 (on rappelle que a et b sont des entiers non nuls).
-Une équation du type m2 - 2d2 = 12 implique que m2 = 12 + 2d2 doit être un carré "parfait" c'est à dire le carré d'un entier, de même pour
2d2 = m2 - 12.
-Une équation du type d(2ab + 3) = 48, implique que d doit etre pair, car 48 est pair, et 2ab + 3 est impair.
A vous !!
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medina 26/03/2013 13:59
Joséphine 27/03/2013 22:27