Variations de fonctions composées

Après avoir appris à décomposer une fonction et à en trouver son ensemble de définition dans l'article précédent, on peut à présent en étudier les variations. Le plus souvent, l'énoncé de l'exercice vous donne les intervalles où vous devez travailler.

Que dit le cours ?

• Si 2 fonctions ont mêmes variations, alors la composée des 2 fonctions est croissante.
• Si 2 fonctions ont des variations contraires, alors la composée des 2 fonctions est décroissante.

Mais il faut faire attention à l'intervalle sur lequel on étudie les variations de chacune:
Si on cherche les variations de f = u o v sur I: On étudie les variations de v(x) pour x € I, et les variations de u(x) pour x € ........à v(I) .
Qu'est-ce que v(I) ?  C'est l'intervalle "image" de I par v. Car, d'après le schéma de décomposition, v prend ses valeurs dans I, mais u prend ses valeurs dans v(I).

^{Exemple 1, simple :}
Question : Etudier les variations de f(x) sur  ] - ∞ , 4 [

- On commence par décomposer f :

- Variations de u(x) sur ] - ∞ , 4 [  : u(x) est une fonction affine dont le coefficient directeur est positif, donc u(x) est croissante sur IR, donc sur ] - ∞ , 4 [.

- Cherchons l'intervalle décrit par u(x) lorsque x € ] - ∞ , 4 [:

- Variations de v(x) : c'est la fonction carré : elle fait partie des fonctions usuelles qui sont détaillées dans le cours, donc on est sensé connaître ses variations : sur ] - ∞ , 0 [, v(x) est décroissante.

- Conclusion : Sur ]- ∞ , 4[, f est la composée d'une fonction croissante (u) et d'une fonction décroissante (v), donc f est décroissante.

^{Exemple 2, avec la fonction inverse:} 

Question : Etudier les variations de f(x) sur  ] - ∞ , 5 [

 ^{- On commence par décomposer f :}


- Variations de u(x) sur ] - ∞ , 5 [  : u(x) est une fonction affine dont le coefficient directeur est positif, donc u(x) est croissante sur IR, donc sur ] - ∞ , 5 [.

- Cherchons l'intervalle décrit par u(x) lorsque x € ] - ∞ , 5 [:

- Variations de v(x) : c'est la fonction inverse : elle fait partie des fonctions usuelles qui sont détaillées dans le cours, donc on est sensé connaître ses variations : sur ] - ∞ , 0 [, v(x) est décroissante.

- Conclusion : Sur ]- ∞ , 5[, f est la composée d'une fonction croissante (u) et d'une fonction décroissante (v), donc f est décroissante.

^{Exemple 3, avec 3 fonctions:}    

Question : Etudier les variations de f(x) sur  ] - ∞ , 0 [

 ^{- On commence par décomposer f :}


- Variations de u(x) sur ] - ∞ , 0 [  : u(x) est la fonction carré donc u(x) est décroissante sur ] - ∞ , 0 [.

- Cherchons l'intervalle décrit par u(x) lorsque x € ] - ∞ , 0 [:

- Variations de v(x) : c'est une fonction affine de coef directeur positif : elle est croissante sur IR donc sur  ]0, + ∞[
- Variations de w(x) : c'est la fonction racine carrée, elle est croissante sur ]0, + ∞[

- Conclusion : Sur ]- ∞ , 0[, f est la composée d'une fonction décroissante (u) et de 2 fonctions croissante (v et w), donc f est décroissante.

En compilant cet article et le précédent, vous savez répondre à toutes les questions concernant les variations de fonctions composées !

Comments

[Jérome]

Merci bien, mais je ne comprends pas l'intervalle image de I par v, qu'est-ce que cela signifie ?

[Joséphine]

quel endroit?

[Jérome]

Bonjour, merci pour le cours, mais que faire quand l'intervalle n'est pas donné dans la consigne ? comment savoir, tout seul, dans quelles intervalles faut-il étudier la fonction ?

[Joséphine]

Il faut rouver l'ensemble de definition ( aussi appelé domaine de définition).


C'est detaillé ici : http://www.les-bonnes-notes.fr/article-decomposer-une-fonction-fonctions-composees-2de-et-1-60275907.html


 


bon courage!


 

[Joséphine]

tout à fait, petite inattention réparée! Merci bien!

[Gerald]

bonjour merci pour votre article mais n'y aurait-il pas une erreur : dans l'exemple on est dans l'intervalle -00,5 et on passe à l'intervalle 5,+00 dans votre rédaction puis dans la conclusion vous
écrivez -00,4