Développement, factorisation

En fin de collège, le calcul littéral fait son apparition, et c'est en 3ième que les notions de développement et de factorisation sont étudiées principalement.

A quoi ça sert?

Une expression contenant des lettres ( souvent la lettre x) n'est pas toujours utilisable telle qu'elle est écrite. On peut donc, quand c'est possible, la factoriser ou la développer pour rendre son utilisation plus facile.

En quoi cela consiste?

Factoriser, c'est transformer une expression dont l'opérateur principal est l'addition/soustraction en une expression dont l'opération principale est la multiplication.    Exemple : x² + x - 6 = (x - 2)(x + 3)

Développer, c'est l'inverse: c'est transformer une expression dont l'opération principale est une multiplication en une expression dont l'opération principale est une addition ou une soustraction.   Exemple : (x - 2)(x + 3) = x² + x - 6

Le cours

- Développer : c'est le plus facile, il faut juste faire attention aux règles de signes.

Exemple : Développer (x - 2)(x + 3)

= x * x - 2 * x + 3 *x - 2 * 3   on multiplie les termes de la 1ere parenthèse par les termes de la 2ème

= x² - 2x +3x - 6                    on enlève les opérateurs inutiles

= x² + x - 6                             on réduit

- Factoriser: Suivant l'expression donné, ce n'est pas toujours évident.

Exemple1 : Quand le facteur commun est totalement visible

( x-2)(x+3) + (x-2)(3x - 7)

1er terme   2ième terme

= (x-2)[(x+3)+(3x - 7)]      j'ai mis (x-2) en facteur, c'est le facteur commun aux 2 termes de l'addition

=(x-2)[x+3+3x -7]             j'enlève les parenthèses dans les crochets

=(x-2)[4x-4]                       je réduis dans les crochets.

Exemple2 :  Quand le facteur commun n'est pas visible

( x-2)(x+3) + (2x-4)(3x - 7) = ??   je dois chercher un facteur commun, mais ici on ne le voit pas. Il est donc caché, je dois le trouver. Un des facteurs du 1er terme s'écrit donc comme un des facteurs du 2ième terme.

Essayons x+3 et 3x-7 : non, ça ne se ressemble pas.

Essayons x+3 et 2x-4 : non , ça ne se ressemble pas.

Essayons x-2 et 2x-4  : oui , cela se ressemble : on peut écrire 2x-4 = 2(x-2)

DONC : (x-2)(x+3) + (2x-4)(3x - 7) = (x-2)(x+3) + 2(x-2)(3x - 7)

                                                   = (x-2)[x+3+3(3x -7)]   j'enlève les parenthèses dans les crochets.

                                                   = (x-2)[x+3+9x -21]      je développe dans les crochets.

                                                   = (x-2)[10x-18]            je réduis dans les crochets.

Erreurs fréquentes à éviter :

• Je fais attention aux règles de signe,
• Je fais attention en recopiant l''énoncé à ne pas me tromper de signe ou de chiffre, ainsi que tout au long du calcul ( j'évite les étourderies, en fait...),
• Pour la factorisation, je souligne le facteur commun pour bien l'identifier,
• Si je ne trouve pas de facteur commun, c'est qu'il est caché. Je compare donc chaque facteur de chaque terme entre eux pour trouver une autre façon d'écrire une des parenthèses, et ainsi faire apparaître le facteur commun.