Le voila, le fameux chapitre des dérivées.....

• Pour commencer

Il faut savoir que vous allez devoir oublier tout ce que vous avez appris depuis 3 ou 4 mois.
La dérivée d'une fonction est l'outil qui va vous permettre, à présent, de connaître les variations de la fonction associée.
Donc on oublie les inégalités à répétition, les tortures de l'esprit pour trouver les variations d'une fonction composée, associée, translatée, inversée....
Maintenant, c'est + simple ! ( si si... )

• Comment trouver f'(x)

Cette dérivée, on l'appelle f'(x). ( lire "f prime de x" )
Elle se déduit de f(x) par des formules à apprendre, souvent sous forme de tableaux de formules.

Pour savoir quelle formule utiliser, la première question à se poser est : sous quelle forme est f ?
Si c'est un produit, alors j'utilise la formule du produit.
Si c'est un quotient, j'utilise la formule du quotient...
Si c'est une fonction composée, (youpi on adoooooore les fonctions composées), ben... on utilise la formule des fonctions composés, évidemment....

Petit conseil comme ça....
Ecrivez les différentes parties de f sous formes de 2 fonctions, u(x) et v(x). A côté, vous cherchez l'expression de u'(x) et v'(x). Une fois que tout est noté, alors là vous pouvez commencer à écrire f'. Pas avant, sinon, vous allez droit vers l'erreur...

Exemple :
f(x) = (3x+1)cos(x).
f est sous la forme d'un produit, donc du genre uv, dont la dérivée est u'v + uv'.
u(x) = 3x+1               v(x)=cos(x)
u'(x) = 3                    v'(x)=-sin(x)

f' = u'v + uv' = 3cos(x) + (3x+1)(-sin(x)) = ( on arrange un peu l'écriture) = 3cos(x) - (3x+1)sin(x)

• A quoi ça sert ?

Une fois f'(x) trouvée, on en étudie le signe.

• Si f'(x) > 0, alors f est croissante
• Si f'(x) < 0, alors f est décroissante

Tout ceci consiste donc en une banale étude de signe, que vous apprenez à réaliser depuis la 3ieme.
Tableaux de signes, factorisations, signe d'un produit, d'un quotient, d'un polynôme du 2d degré... tout est utile ici.

• La rédaction :

f(x) = ........
f(x) est du genre ................. , donc f'(x) est du genre.....................
Calcul de f'(x) : ...................
f'(x) = 0 <=> .......
On résoud, on trouve les valeurs pour lesquelles f'(x) s'annule.
On note les résultats dans un tableau de signe, qui sera également le tableau des variations de f(x).

exemple : Je ne donne pas l'expression de f, mais j'imagine une fonction dont la dérivée serait la suivante :

Donc 4 et -1/2 sont les deux seules valeurs à indiquer sur la 1ere ligne du tableau de variations.

4 est la valeur pour laquelle f' s'annule, et -1/2 est la valeur interdites pour f et pour f'.

Ce qui donne comme tableau de variation:

• Astuces pour ne pas tomber dans tous les pièges.... !

- Si on obtient un dénominateur au carré.. surtout ne pas le développer ! N'oubliez pas qu'on cherche un signe, donc autant laisser la forme carrée, qui est toujours positive.

- Si f'(x) est une fraction, alors résoudre f'(x) = 0 revient à résoudre "numéateur =0".

- On n'oublie pas qu'on ne sait pas étudier le signe d'une addition ou soustraction. Par contre on sait étudier celui d'un produit ou d'un quotient ( règle des signes). DONC : on factorise, ou on met sous le même dénominateur, avant d'entamer quoi que ce soit.

- Dans le tableau de variations, on fait bien attention à faire apparaître, dans la 1ère ligne, les racines de f'(x) ET les valeurs interdites s'il y en a.

- La valeur 0 n'a aucune raison d'apparaître plus qu'une autre dans la première ligne du tableau de variations. Je vois souvent des élèves écrire directement ce 0, ligne du haut, en plein milieu du tableau. Or il ne se passe pas obligatoirement quelquechose pour f ou pour f' en x=0.

Ce que nous cherchons, ce sont les valeurs de x pour lesquelles f'=0. Cela peut tomber sur 0 ou pas.

• Les à côtés tellement sympathiques du chapitre....!!!

Toutes ces jolies notions de nombre dérivé, de tangente, de taux de variation, d'approximation affine....  C'est chouette, hein?!!! Non, c'est pas chouette, vous y comprenez pas grand chose, c'est normal...

Mais parce que là, on commence à avoir les neurones fatigués, j'expliquerai tout ça dans un futur billet... 

Pour en savoir plus....    Faites appel à mes services de cours à distance.

Le chapitre des barycentres allie géométrie vectorielle et calculs. Il y a peu de cours, par contre beaucoup de méthodes sont à apprendre.

Qu'est ce que c'est, et à quoi ca sert ?

Le barycentre est un point, un endroit spécial. Si on parlait du barycentre d'un objet, ce serait le "centre" de cet objet, c'est à dire le point d'équilibre de l'objet. En physique, ce point sera utilisé pour étudier l'objet.
Pourquoi parle-t'on de points "pondérés"?
- Imaginez votre double décimètre. Si vous le posez à plat sur une pointe de métal, vous devrez positionner la pointe de métal (G) au centre de la règle pour qu'elle se tienne en équilibre : normal, votre double décimètre est identique à chaque extrémité, chaque point est affecté du même poids, le barycentre est alors l'"isobarycentre" ( iso veut dire égal).
- Imaginez maintenant une louche: elle est bien plus lourde du coté bombé que du coté du manche. Si vous la mettez sur une pointe de métal (G), en positionnant la pointe au milieu de la longeur de la louche, celle ci va pencher du coté le plus lourd. Pour compenser cela et trouver l'équilibre, on va poser sur le manche un poids supplémentaire P. Le centre de la louche sera alors le barycentre du coté bombé affecté du poids "1" , et du manche affecté du poids P.
- Imaginez enfin que non, finalement, on ne met pas de poids sur le manche pour compenser. Alors pour rétablir l'équilibre, il faudra trouver la position de G la plus adaptée, et donc la rapprocher du coté lourd.

La plupart des objets de notre vie sont asymétriques. Pour pouvoir étudier les forces qui s'y exercent, leur mouvement ou tout autre chose en physique, il faut "réduire" cet objet à un seul point. C'est le barycentre qui sera choisi, et on l'appellera en physique, le centre de gravité.

Ce qu'il faut savoir :
- la définition du barycentre,
- la propriété du barycentre,
- les petites propriétés,
- l'association de barycentre. 

Ce qu"il faut savoir faire:
- Construire le barycentre de 2 points, de 3 points,
- Montrer qu'un point est le barycentre de 2 ou 3 points,
- Montrer que 3 points sont alignés,
- Trouver des ensembles de points.

Rappels préliminaire nécessaires :
- La relation de Chasles:
- La règle du parallélogramme, avec I le milieu de AB :
- A retenir pour les résolutions d'exercices :
   

Définition fondamentale : G est le Bar (A,a) (B,b) alors

Construction d'un barycentre :

• Sans les coordonnées :

De la définition, grace à la relation de Chasles, on obtient la formule permettant de construire G connaissant A et B :

Certains profs admettent l'utilisation directe de la formule, d'autres veulent que vous la retrouviez à chaque fois. Regardez dans les exos corrigés comment votre prof procède et faites de la même façon.

Pour retrouver ces formules:

Partez de la définition. Gardez GA puisque AG doit apparaitre dans la formule finale, mais faites Chasles sur GB pour le faire disparaître. Pointez sur le seul point qui reste, A. Vous obtenez aGA + b(GA + AB) = 0. Développez, transformez les GA en AG, isolez-le, et c'est fini.

Avec 3 points la formule devient :

• Avec coordonnées :

Formules à adapter avec 3 points.

Montrer qu'un point est le barycentre de 2 points, ou 3 points:

Le but est donc d'utiliser les données du problème pour arriver à une formule du meme type que la définition du barycentre:
Exemple : AC = 3 CB, exprimer A comme le bary de B et C:
On doit donc trouver un formule du genre aAB + bAC = 0.
On ne touche pas  au vecteur AC, on rapatrie CB à gauche du =, et comme CB doit disparaitre, on fait Chasles en pointant sur A:
AC -3 (CA+AB) =0  d'ou AC - 3CA - 3AB =0 d'ou 4AC - 3AB = 0. A est donc le Bary de (B,-3) (C,4).

Dans l'article suivant, nous étudierons les méthodes concernant les barycentres partiels ( ou barycentres associés )  ainsi que les exercices types pour trouver des ensembles de points.

Jusqu'à présent vous saviez résoudre des équations du 1er degré, et quelques unes du 2d degré, mais pas toutes. Avec ce cours, vous comblez cette lacune et toutes les équations du second degré pourront être résolues.Vous pourrez même résoudre certaines équations du 3iè ou 4iè degré.

Que faut-il savoir et savoir faire?

- connaître les formules pour résoudre une équation du 2d degré ( delta, nombre de racines)
- savoir factoriser un polynôme,
- connaître les tableaux de signe des polynômes du second degré,
- savoir faire une identification membre à membre,
- connaître les astuces et méthodes pour résoudre une équation du 3iè et du 4iè degré,
- utiliser les notions précédentes pour résoudre des équations et inéquations.

Méthode pour résoudre une équation du 2d degré du genre ax²+bx+c = 0

Pour trouver les racines du polynôme ( racines = les valeurs de x pour lesquelles le polynôme vaut 0) Il suffit de connaître les formules du cours : calculer le delta et suivant son signe , en déduire les solutions lorsqu'elles existent.

Pour factoriser  ax²+bx+c = 0 : ce n'est possible que s'il a une ou 2 racines
S'il en a une seule, soit x₀, alors ax²+bx+c = a ( x-x₀ )²
S'il en a 2, soit x₁ et x₂, alors ax²+bx+c = a ( x-x₁ )( x-x₂ )         Attention à ne pas oublier le "a" !

^{Exemple :}
Résolvons p(x) = 0  :  

  ^{d'où la factorisation:}  

Méthode pour résoudre et factoriser une équation du 3iè degré

Exercice type : On veut trouver les racines d'un polynôme de degré 3. Mais il n'y a pas de méthode dans le cours. Ce sont donc les questions de l'exercice qui vont vous amener à les trouver.

Soit p(x) = Ax³+ Bx² + Cx + D

1) Trouver une racine évidente x₀ : Il s'agit là de trouver une valeur facile de x qui fait que le polynôme vaut 0. On teste donc 1, 2, 3 ou -1, -2, -3. Obligatoirement une de ces valeurs est une racine.

1BIS) Montrer que 2 est une racine : là on vous donne une valeur, il faut vérifier qu'elle est bien racine du polynôme : on calcule p(2) et on montre que cela fait 0.

2) Factoriser p(x): On sait que x₀ est une racine. D'après le cours, cela veut dire qu'on peut factoriser p(x) par (x-x₀), donc que p(x) =   (x-x₀) Q(x), avec Q(x) un polynôme de degré 2 ( (x-x₀) est de degré 1 et p(x) est de degré 3 donc Q(x) est de degré 3-1 = 2).  Q(x) s'écrit ax²+bx+c, et on a alors p(x) =  (x-x₀) (ax²+bx+c).

Pour factoriser p(x) totalement, il faut connaitre a,b et c et trouver les racines de ax²+bx+c:
Méthode pour trouver a, b et c : on développe (x-x₀) (ax²+bx+c) = ax³+ bx² + cx - ax₀x²- bx₀x - cx₀
On réduit (rassembler les puissances de x) : (x-x₀)(ax²+bx+c) = ax³+ (b- ax₀)x² + (c - bx₀)x - cx₀
On identifie membre à membre : Ax³+ Bx² + Cx + D = ax³+ (b- ax₀)x² + (c - bx₀)x - cx₀
Comme on connaît A, B, C et D, on résout : A = a ; B = b- ax₀   ; C = c - bx₀ et D = cx₀
On obtient ax²+bx+c. On résout ax²+bx+c=0 pour trouver les racines, et finir de factoriser p(x).

<sup>Exemple : On veut résoudre p(x) = 0 avec
- Je cherche la racine évidente : j'essaie 1, ça marche :
- Je peux donc factoriser p(x) par (x-1):</sup>
- Je développe et réduis l'expression :

- J'identifie membre à membre avec le polynôme de départ:

- je trouve a, b et c :

<sup>- Je peux donc écrire:
- Je cherche les racines du 2iè facteur qui est un trinôme du second degré:</sup>

Δ est positif, il y a donc 2 racines (méthode vue précédemment), on trouve x = -2 et x = 3.
Les 3 racines du polynôme sont donc 1, -2 et ,

^{- On peut factoriser p(x) totalement :}

Méthode pour résoudre et factoriser une équation du 4iè degré

Les seules équations du 4ie degré que vous pouvez résoudre sont celles que vous pouvez ramener à une équation du 2d degré par changement de variable.

^{Exemple    :
On effectue le changement de variable :    donc
Je cherche les racines de ce trinôme:
Or   d'où:}
                              

Donc les solutions sont  S = {-2, -1, 1, 2 }

^{Attention, si un des X est négatif, alors on ne peut pas poser} 
Il n'y aura donc que 2 racines au polynôme.

^{Pour une équation du genre  , on posera} 

Pour un entraînement efficace, pour vérifier que vous avez compris le chapitre et pour vous préparer au prochain contrôle, faites appel à mes services de cours par correspondance... Renseignez-vous    ICI.

Nouveauté totale cette année, les suites numériques.

Vous avez tous déjà croisé les énigmes du TéléZ de la semaine, où l'on vous demande de compléter une suite de nombres.. et bien, la plupart du temps, il s'agit de suites numériques.

Qu'est ce que c'est?
C'est une suite de nombres, tous liés au précédent ou au suivant par la même opération.

A quoi ça sert?
Beaucoup de choses dans notre vie peuvent être calculées par les suites numériques.
Par exemple, les intérêts que l'on touche grâce à un placement à la banque, combien aura-t'on gagné au bout de 2 ans, 10 ans, 30 ans... Ou bien ... le nombre de bébés lapins que peut procréer un couple de lapins en quelques mois !! Celle-ci s'appelle la suite de Fibonacci !

Ce qu'il faut en savoir et savoir faire :
Pour être au point sur ce chapitre, voila tout ce qu'il faut savoir et savoir faire :
- Différencier les suites du genre U_n=f(n) et U_n+1=f(U_n),
- Etudier la monotonie de U_n,
- Calculer les premiers termes d'une suite,
- Trouver graphiquement les premiers termes d'une suite,
- Trouver si une suite est une suite arithmétique ou une suite géométrique, ou pas,

- Savoir passer d'une écriture de récurrence ( U_n+1=f(U_n)) à une écriture explicite (U_n=f(n) ),
- Savoir calculer la somme d'une suite arithmétique, la somme d'une suite géométrique,
- Trouver le rang n tel que la somme d'une suite arithmétique soit égale à une certaine valeur.

Comment le faire?

- La monotonie de U_n:

• Ecrire U_n+1-U_n et étudier son signe,
• Ou, si tous les termes U_n sont positifs, écrire U_n+1/U_n et comparer à 1,
• Ou, si U_n=f(n), étudier les variations de f sur IN

- Trouver si une suite est une suite arithmétique ou une suite géométrique, ou pas:

Pour montrer qu'une suite est arithmétique, j'écris U_n+1-U_n. Si c'est un chiffre, c'est une SA et ce chiffre en est la raison. S'il reste des "n", ce n'est pas une SA.

Pour montrer qu'une suite est géométrique, j'écris U_n+1/U_n. Si c'est un chiffre, c'est une SG et ce chiffre en est la raison. S'il reste des "n", ce n'est pas une SG.

Pour montrer qu'une suite N'EST PAS arithmétique : je calcule U₁ -U₀ et U₂ -U₁ et je montre que ces 2 valeurs sont différentes.

Pour montrer qu'une suite N'EST PAS géométrique: je calcule U₁ / U₀ et U₂ / U₁ et je montre que ces 2 valeurs sont différentes.

Les pièges à éviter
- Bien différencier l'écriture de récurrence ( un terme U_n+1 en fonction du précédent U_n ) et l'écriture explicite ( un terme U_n en fonction du rang n),
- Faire attention aux formules dans les suites arithmétiques et géométriques: Exemple : U_n = U₀ + nr   : ici, n est en fait "n-0".  Donc si la suite commence au rang p, la formule sera U_n = U_p + (n-p)r
- n est dans IN, donc il est positif , ce qui est très utile pour les études de signe,
- Attention, de 0 à 10 , il y a 11 termes !

L'exercice type
Un des exercices type consiste à vous donner 2 suites différentes, liées l'une à l'autre.
-Une suite U_n+1 =f(U_n ), ni arithmétique, ni géométrique
-Une suite V_n =g(U_n ).
On vous demande de démontrer que V_n est géométrique en trouvant sa raison, puis d'écrire V_n en fonction de n ( faisable car géométrique et raison connue).
Puis on vous demande d'écrire U_n en fonction de n ( faisable puisqu'on a V_n  en fonction de U_n , on peut donc en déduire U_n en fonction de V_n , et donc en fonction de n)

Exemple :
 

Je calcule V_n+1 / V_n et je montre que c'est un réel fixé (un chiffre):

2 est un réel fixé, V_n est donc une suite géométrique, et sa raison est 2.

V_n etant une suite géométrique, son expression en fonction de n est :

^car    

Comme on a V_n en fonction de U_n, on peut en déduire U_n en fonction de V_n et donc de n:

Pourquoi devez-vous porter une attention particulière à ce chapitre?
Parce que l'an prochain, en terminale, il sera présent tout au long  de l'année en maths :
- Vous apprendrez les complexes.. et les suites de complexes,
- Vous apprendrez les proba.... et les suites de proba,
- Vous apprendrez les intégrales... et les suites d'intégrales, voire..les intégrales de suites,
- Vous étudiez la géométrie dans l'espace... et on y mettra des suites, là aussi...!

Voila, vous avez le schéma de révision, à vous de jouer !!

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