Barycentres partiels et ensembles de points

Cette 2ième partie du chapitre traitera des barycentre partiels et des ensembles de points.

  Notation : AB signifie vecteur AB, AB signifie longueur A.

• Barycentres partiels

Cours : Si G est Bary (A,a) (B,b) (C,c) et H Bary de (A,a) (B,b) alors G Bary de (H,a+b) (C,c)

Astuce : il est possible de "dédoubler"  un point en partageant son poids.

Exemple : Soit G Bary (A,3) (B,5) (C,-3) ,  H Bary de (B,2) (C,-3) et J milieu de [AB]. Montrer que H, G, J sont alignés.
H,G,J sont alignés si l'un des points peut etre écrit comme le bary des 2 autres.
J milieu de [AB]  ↔ J Bary (A,1) (B,1), et H Bary de (B,2) (C,-3)
Or G Bary (A,3) (B,5) (C,-3) c'est à dire, en dédoublant le point B,  G Bary (A,3) (B,3) (B,2) (C,-3)
J Bary (A,1) (B,1)  ↔ J Bary (A,3) (B,3)   et H Bary de (B,2) (C,-3)
D'après les Barycentres partiels, on peut remplacer (A,3) (B,3) par (J,6) et  (B,2) (C,-3) par (H,-1)
Donc G Bary (J,6) (H,-1) donc H, J,G sont alignés. 

• Trouver des ensembles de points

Propriétés fondamentale : Si G est Bary (A,a) (B,b) (C,c),
alors pour tout point M on a aMA + bMB + cMC = (a+b+c) MG

A quoi ça sert ?

Le but des exos va être de trouver où sont les points M qui vérifient une relation donnée. Dans cette relation, le point M apparait plusieurs fois, ce qui empêche de résoudre directement. On va donc utiliser la propriété précédente pour transformer cette relation en une autre qui ne contient qu'une seule fois le point M.

3 types d'exercice:

- Soient 3 points A, B et C, trouver l'ensemble des points M tels que
II 3MA - 2MB + 4MC II = II 2MA + 3MB II

On considère alors le point G bary (A,3) (B,-2) (C,4) et le point H bary (A,2) (B,3). Les poids donnés aux points sont les coefficients placés devant chaque vecteur. Comme on sait placer le barycentre de 2 ou 3 points pondérés, alors G et H peuvent être utilisés comme donnée du problème.

D'après la propriété fondamentale,,
3MA - 2MB + 4MC = (3 - 2 + 4) MG = 5MG
et 2MA + 3MB = (2 + 3) MH = 5MH
Donc la relation donne :
II 5MGII = II 5MH II , d'ou 5 IIMGII = 5 IIMHII , d'où MG = MH
Les points M sont donc sur la médiatrice du segment [HG]

- Soient 3 points A, B et C, trouver l'ensemble des points M tels que
II 3MA - 2MB + 4MC II = 10

On considère alors le point G bary (A,3) (B,-2) (C,4).
D'après la propriété, 3MA - 2MB + 4MC = (3 - 2 + 4) MG = 5MG
Donc la relation donne : II 5MGII = 10 , d'ou 5 IIMGII = 10, d'où MG = 2
Les points M sont donc sur le cercle de centre G de rayon 2

- Soient 3 points A, B et C, trouver l'ensemble des points M
tels que II 3MA - 2MB + 4MC II = II MA - MB II

On considère alors le point G bary (A,3) (B,-2) (C,4) MAIS... on ne peux pas considérer le point H bary (A,1) (B,-1) car il n'existe pas, car 1 - 1 = 0.
L'astuce : si on ne peut pas considérer le barycentre, c'est qu'il y a une autre facon d'écrire l'expression.
MA - MB = MA + BM = BM + MA = BA
Donc la relation donne :
II 5MGII = II BAII , d'ou 5 IIMGII = BA d'où MG = BA/5
Les points M sont donc sur le cercle de centre G de rayon BA/5.

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